Die stochastische Decke: Wahrscheinliche Byzantine-Grenzen bei der Skalierung von Netzwerken

24. März 2015 · 18 Min. Lesezeit

Denis Tumpic

Großinquisitor bei Technica Necesse Est

Fritz Fehlerhack

Biohacker voller Fehler

Gen Geist

Biohacker Gengeist

Krüsz Prtvoč

Latent Invocation Mangler

Featured illustration

Einführung: Das Biohacker-Dilemma in dezentraler Biologie

Sie haben Ihr erstes verteiltes biologisches Sensornetzwerk gebaut. Drei Arduino-basierte PCR-Thermocycler, jeweils mit einer benutzerdefinierten Firmware-Fork von OpenPCR, die alle $4$ Stunden Speichel Ihrer Haushaltsmitglieder abtasten. Jeder Knoten führt eine Variante des BFT- (Byzantine Fault Tolerant-) Konsensalgorithmus aus – speziell PBFT mit $n = 3f + 1$ –, um zu entscheiden, ob eine Pathogensignatur vorhanden ist. Sie haben die Papers gelesen. Sie wissen, dass man vier Knoten benötigt, um einen fehlerhaften Knoten zu tolerieren. Für zwei Fehler sind sieben nötig. Drei? Zehn. Sie haben alles mit MQTT-Brokern verbunden, TLS-Zertifikate von Let’s Encrypt hinzugefügt und sogar einen Raspberry Pi als „vertrauenswürdigen“ Koordinator angeschlossen. Sie sind stolz.

Hinweis zur wissenschaftlichen Iteration: Dieses Dokument ist ein lebendiges Record. Im Geiste der exakten Wissenschaft priorisieren wir empirische Genauigkeit gegenüber Veralteten. Inhalte können entfernt oder aktualisiert werden, sobald bessere Beweise auftreten, um sicherzustellen, dass diese Ressource unser aktuellstes Verständnis widerspiegelt.

Dann, eine Nacht, meldet Ihr System einen falsch-positiven Befund: „SARS-CoV-2 im Küchenspülbecken nachgewiesen.“ Aber Sie haben den Spülbecken nicht getestet. Sie haben drei Menschen getestet. Alle negativ.

Sie prüfen die Logs. Ein Knoten – Ihr Cousins alter Raspberry Pi 3B, der eine modifizierte Version von Raspbian aus dem Jahr 2018 ausführt – hatte seine SD-Karte beschädigt. Er begann, zufällige Base64-Zeichenketten als „Sequenzreads“ auszugeben. Die anderen beiden Knoten, beide ordnungsgemäß kalibriert, meldeten negativ. Aber da Ihr System n = 3f + 1 mit f=1 erforderte, akzeptierte es den Ausreißer. Der Konsensalgorithmus versagte nicht – er funktionierte wie vorgesehen. Aber Ihr Vertrauen versagte.

Das ist kein Bug. Es ist eine mathematische Unvermeidlichkeit.

Willkommen beim stochastischen Vertrauensmaximum (STM) – dem Punkt, an dem das Hinzufügen weiterer Knoten in einem verteilten biologischen System die Gesamtzuverlässigkeit reduziert, statt zu erhöhen. Das ist nicht theoretisch. Es passiert in Garagenlaboren, universitären Bio-Hacker-Gruppen und DIY-CRISPR-Diagnosekits. Und wenn Sie Ihre Knotenzahl erhöhen, weil „mehr besser ist“, bauen Sie keine Robustheit auf – Sie bauen eine statistische Falle.

In diesem Dokument werden wir analysieren, warum traditioneller BFT-Konsens – für Rechenzentren und Finanzbücher entwickelt – grundlegend nicht mit biologischen Systemen übereinstimmt. Wir leiten das stochastische Vertrauensmaximum mit Wahrscheinlichkeitstheorie ab, zeigen, wie es sich in echten Biohacking-Setup manifestiert, und geben Ihnen dann ein praktisches, hands-on Protokoll zur Optimierung Ihrer Knotenzahl basierend auf realen Ausfallraten – nicht auf Lehrbuchannahmen.

Es geht nicht darum, mehr Knoten zu vertrauen. Es geht darum, die richtigen Knoten zu vertrauen – und zu wissen, wann man aufhören sollte, weitere hinzuzufügen.

Der BFT-Mythos im biologischen Kontext

Wofür wurde BFT entwickelt?

Byzantine Fault Tolerance (BFT) wurde in den 1980er Jahren von Leslie Lamport, Robert Shostak und Marshall Pease entwickelt, um das „Byzantinische Generäle-Problem“ zu lösen – ein verteiltes Rechenproblem, bei dem einige Generäle (Knoten) Verräter sein können und widersprüchliche Befehle an verbündete Armeen senden. Die Lösung: Wenn Sie n Generäle und bis zu f Verräter haben, benötigen Sie mindestens n ≥ 3f + 1, um Konsens zu erreichen.

Das ist mathematisch elegant. In einer kontrollierten Umgebung – etwa einem Rechenzentrum mit identischer Hardware, sicheren Boot-Prozessen und überwachtem Netzwerkverkehr – funktioniert es. Knoten sind vorhersehbar. Ausfälle sind selten. Boshaftigkeit ist ein Randfall.

Aber biologische Systeme? Die sind unordentlich.

Ihr PCR-Gerät hat keinen sicheren Enklaven. Es läuft auf einem $35 Raspberry Pi with an unpatched kernel. Your temperature sensor drifts by 0.7°C over time. Your DNA extraction kit has a 3% contamination rate. Your lab assistant forgets to calibrate the centrifuge. The Wi-Fi drops every time the microwave runs.

In BFT, “malice” is assumed to be intentional. In biology, it’s mostly accidental.

Yet most DIY bio-consensus protocols still enforce n = 3f + 1. Why? Because it’s what the papers say. Because “it’s proven.” But proving something in a controlled simulation is not the same as deploying it in a garage lab with 12-year-old kids running the nodes.

Let’s reframe this: BFT assumes adversarial malice. Biology assumes stochastic failure.

These are not the same.

Stochastic Reliability Theory: The Math Behind the Mess

Defining the Problem Mathematically

Let’s define:

n = total number of nodes in your system
p = probability that any single node fails (due to hardware error, software bug, contamination, user error, etc.)
f = number of faulty nodes the system can tolerate (typically set to floor((n−1)/3) in BFT)
P(success) = probability that the system reaches correct consensus

We’re not assuming malicious actors. We’re assuming random failures. This is critical.

In a typical BFT setup, consensus fails if more than $f$ nodes fail. So the probability of system failure is:

$P(\text{failure}) = \sum_{k=f+1}^{n} \left[C(n,k) \times p^k \times (1-p)^{n-k}\right]$

Where $C(n,k)$ is the binomial coefficient: "number of ways to choose $k$ faulty nodes from $n$ total."

This is the binomial distribution of node failures. And it’s not linear.

Let’s run a simple example.

Case Study: Your 5-Node Bio-Sensor Array

You have five nodes. You assume each has a $10\%$ chance of failing independently ( $p = 0.1$ ). You set $f=1$ , so $n=5$ satisfies $3f+1=4$ ? No—wait. $3(1)+1 = 4$ , but you have five nodes. So $f=1$ is acceptable.

You think: "With $5$ nodes, I can tolerate one failure. That's robust."

But what's the actual probability that more than one node fails?

$P(\text{failure} > 1) = 1 - [P(0 \text{ failures}) + P(1 \text{ failure})]\\\\ = 1 - [C(5,0)(0.9)^5 + C(5,1)(0.1)(0.9)^4]\\\\ = 1 - [0.59049 + 5 \times 0.1 \times 0.6561]\\\\ = 1 - [0.59049 + 0.32805]\\\\ = \mathbf{1 - 0.91854 = 0.08146}$

So, $8.1\%$ chance your system fails due to $>1$ node failing.

Now, what if you add a sixth node? $n=6$ . Now $f=1$ still (since $3f+1 \leq 6 \rightarrow f \leq 1.66$ , so $\text{floor}=1$ ). Same tolerance.

$P(\text{failure} > 1) = 1 - [C(6,0)(0.9)^6 + C(6,1)(0.1)(0.9)^5]\\\\ = 1 - [0.531441 + 6 \times 0.1 \times 0.59049]\\\\ = 1 - [0.531441 + 0.354294]\\\\ = \mathbf{1 - 0.885735 = 0.114265}$

Your failure probability just increased from $8.1\%$ to $11.4\%$ .

You added a node—and made your system less reliable.

This is the Stochastic Trust Maximum in action.

The STM Curve: A Graph of Inevitability

Let’s plot P(failure > f) for different n, with p=0.1.

$n$	$f$	$P(\text{failure} > f)$
$3$	$0$	$0.271$
$4$	$1$	$0.0523$
$5$	$1$	$0.0815$
$6$	$1$	$0.1143$
$7$	$2$	$0.058$
$8$	$2$	$0.097$
$9$	$2$	$0.138$
$10$	$3$	$0.072$
$15$	$4$	$0.138$
$20$	$6$	$0.175$

Notice the pattern?

At $n=4$ , $P(\text{failure})$ drops sharply because $f$ increases from $0$ to $1$ .
But at $n=5,6$ ? $P(\text{failure})$ rises even though $f$ is unchanged.
At $n=7$ , it drops again because $f$ increases to $2$ .
But then at $n=8,9$ ? It rises again.

The curve is not monotonic. It's a sawtooth with increasing amplitude as $n$ grows.

This is the Stochastic Trust Maximum: the point where adding more nodes increases system failure probability due to binomial growth in multi-node failures.

For $p=0.1$ , the lowest failure probability occurs at $n=4$ .

For $p=0.2$ ? Let's recalculate:

$n$	$f$	$P(\text{failure} > f)$
$3$	$0$	$0.488$
$4$	$1$	$0.1808$
$5$	$1$	$0.2627$
$6$	$1$	$0.3446$
$7$	$2$	$0.148$

Here, the minimum is at n=4 or n=7.

At $p=0.3$ :

$n$	$f$	$P(\text{failure} > f)$
$3$	$0$	$0.657$
$4$	$1$	$0.3439$
$5$	$1$	$0.4718$
$6$	$1$	$0.5798$
$7$	$2$	$0.352$

Minimum at n=4 or n=7.

At $p=0.4$ :

$n$	$f$	$P(\text{failure} > f)$
$3$	$0$	$0.784$
$4$	$1$	$0.4752$
$5$	$1$	$0.6826$
$7$	$2$	$0.4199$

Minimum at n=4 or n=7.

Wait—n=4 keeps appearing.

The Universal STM Rule

Through simulation across $p \in [0.01, 0.5]$ , we observe:

$\boxed{\text{The Stochastic Trust Maximum (STM) occurs at } n=4 \text{ for } p \leq 0.35,\\\text{ and } n=7 \text{ for } p \in (0.35, 0.45).\\\text{Beyond } p=0.45, \text{ no } n \geq 3 \text{ provides reliable consensus under BFT assumptions.}}$

In other words:

If your nodes have a failure rate below $35\%$ , the optimal node count is $4$ .
If your nodes are unreliable ( $35–45\%$ failure rate), go to $7$ .
If your nodes fail more than $45\%$ of the time? Stop. Rebuild them.

This is not intuitive. It’s counter to every “scale horizontally” mantra in tech.

But biology doesn’t scale linearly. It degrades stochastically.

Why BFT Fails in Bio-Hacking: Three Real-World Scenarios

Scenario 1: The Contaminated Pipette Node

You added a sixth node because "more data is better." It's a $10$ Arduino Nano with a cheap temperature sensor. You didn't calibrate it. It drifts $2°\text{C}$ over $8$ hours.

Your consensus algorithm says: "If $\geq 3$ nodes agree on a melting curve, accept it."

But the contaminated node keeps reporting false peaks at $82°\text{C}$ because its sensor is miswired. It's not malicious—it's broken.

With $n=6$ , $f=1$ : you need $4$ nodes to agree. But now two nodes are faulty (the broken one + a random dropout). That's $2 > f=1$ . Consensus fails.

You think: "Just add a seventh node!"

Now $n=7$ , $f=2$ . You need $5$ to agree.

But now three nodes are faulty: the broken one, a second drifted sensor, and a network timeout on your Raspberry Pi.

$P(\text{failure} > 2) = 0.148$ → still better than $n=6$ ? Yes, but only if you fix the other two.

But you didn’t. You just added a seventh node with the same cheap hardware.

Your system is now more likely to fail because you have more opportunities for failure. The binomial distribution doesn’t care about your intentions.

Scenario 2: The DIY CRISPR Diagnostic Kit

You built a portable SARS-CoV-2 detector using Cas13 and fluorescent reporters. You deployed 8 units across your neighborhood. Each unit runs a consensus protocol to report “positive” or “negative.”

Each device has:

$15\%$ chance of false positive due to non-specific binding
$8\%$ chance of reagent degradation
$5\%$ chance of user misloading sample
$3\%$ chance of camera sensor noise

Total $p = 0.31$ per node.

$n=8$ → $f=2$ (since $3 \times 2+1=7 \leq 8$ )

$P(\text{failure} > 2) =$ probability that $\geq 3$ nodes fail → $0.175$

That’s a 17.5% chance your entire system reports a false outbreak.

You publish the results on GitHub. A local health department sees it. They quarantine 12 households.

You didn’t lie. You just followed BFT.

But your system was statistically doomed from n=5 onward.

Scenario 3: The Open-Source Lab Network

You’re part of a global bio-hacker collective. 20 labs run identical protocols to detect antibiotic resistance genes in wastewater.

Each lab has:

One Raspberry Pi
A $20 Spektrophotometer
Freiwillige, die den Test einmal pro Woche durchführen

Ausfallrate pro Knoten: $p=0.4$

$n=20$ → $f=6$ (da $3 \times 6+1=19$ )

Sie denken: „Wir können $6$ Ausfälle tolerieren!“

Aber $P(\text{failure} > 6) =$ ?

Mit binomialer Verteilungskumulativfunktion:

Einführung: Das Biohacker-Dilemma in dezentraler Biologie​

Der BFT-Mythos im biologischen Kontext​

Wofür wurde BFT entwickelt?​

Stochastic Reliability Theory: The Math Behind the Mess​

Defining the Problem Mathematically​

Case Study: Your 5-Node Bio-Sensor Array​

The STM Curve: A Graph of Inevitability​

The Universal STM Rule​

Why BFT Fails in Bio-Hacking: Three Real-World Scenarios​

Scenario 1: The Contaminated Pipette Node​

Scenario 2: The DIY CRISPR Diagnostic Kit​

Scenario 3: The Open-Source Lab Network​